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本文是《这才是好读的数学史》的上篇小结，旨在一篇文章“读完”数学史。

1.开端

大约在公元前5000年，当古代近东地区开始发展文字书写时，数学开始凸显为一项特殊的活动。

人类合作的模式一方面是制作工艺品，一方面是统计“工作量”，“税收”，“工资”，“工人数量”，“田地大小”。处理这些问题是“抄写员”的工作。

数学作为一门学科，诞生于抄写传统和培养抄写员的学校。证据大部分来源于美索不达米亚。在印度和中国，这一时期可能也有类似的过程，但没有发现很多证据。

19世纪从埃及出土的《莱因德纸草书》，可以追溯到公元前1650年。

2.希腊数学

按照希腊的历史记载，最早的数学论证可以追溯到公元前600年。他们将逻辑推理和证明摆在数学的中心位置。希腊最早的数学证据是欧几里得的《几何原本》，时间可以追溯到公元前300年左右。

注意我们说希腊数学，“希腊”这个词的主要参考是他们的语言，而不是国家，当时很多个国家都说希腊语，方便沟通。

像希腊哲学家一样，最早期的数学家似乎都是独立谋生的人，他们自己支配时间从事学术追求。后来，一些数学家以占星家的身份谋生，少数人以某种方式得到国家的支持（会有一些一对一的教学）。

总的来说，数学是那些拥有财力和时间的人的追求。当时的毕达哥拉斯学派发现了“不可通约量”，也就是后来的无理数。

比率在希腊数学中扮演着非常重要的角色，因为希腊几何学家没有将数学与他们的研究对象联系起来。线段就是线段。有相等的线段，较长和较短的线段，以及一条线段可能等于其他两条线段加起来，但希腊数学家从来没有谈论过线段的长度。面积、体积和角度被视为不同的数量（其实这个并非只有希腊这样，数量摆脱量纲是很后来的事情）。

到了哲学家柏拉图和亚里士多德的时候，了解不可约量是每个有教养的人所接受教育的一部分。

大约从这个时候，他们可能开始明白，为了证明定理，必须从一些未经证明的假设开始。

《几何原本》把当时的主要成就集中到了一起。即使在20世纪的西方，研究该书的第一部分成为通行的一种智力仪式。

当时人们对天文学也开始感兴趣，一种复杂的球面几何学得以发展，被用来解释和预测恒星和行星的运动。60进制的方式一直延续到了今天（分钟，秒）。

丢番图是希腊数学家中最具创造性的一位。但他的著作多次失传，又多次被找到。用整数和有理数求解的方程称为丢番图方程。

公元5世纪标志着古希腊数学传统的终结。在公元前600至公元400年间，除了主流的几何数学，还有一种传统数学，那就是加法和减法，它是日常生活中所使用的数学。因为无论数学家们对几何怎么迷恋和对数字如何蔑视，商人们都不得不在交易时使用加和减。

3.同一时期的印度

接下来的400多年，欧中和北非的数学活动寥寥无几。因为当时发生侵略战争。环境不利于智力活动的开展。知道伊斯兰王朝政局稳定下来后，这些地区才开始拥有较好的数学研究环境。

Brahmagupta 和 Bhaskara 是第一批承认和使用负数的人。几乎在所有的情况下，我们所拥有的数学文献都是天文学书籍的延申部分。

印度数学家最著名的发明是十进制系统。也是今天我们所使用的计数系统。

印度在三角学也有一些贡献。希腊三角学的研究，其实是围绕着一个角所对的弦的概念为中心的。对于一个圆心角，其两边的线段与圆相交产生交点，这两个交点连成的线段称之为角的弦。然而，在许多情况下，需要考虑的不是此弦，而是此弦的一半。印度数学家把圆心角的两倍角所对弦的一半作为他们的基本三角段。他们称之为半弦。这个名称被误译为拉丁语“sinus”，也就是我们讲的sin，正弦。这种从弦到正弦的改变使得三角学变得更简单。

然而正弦在当时依然被认为是一个线段，而不是抽象的数字。

印度数学当时已经可以计算平方根和立方根。知道如何计算等差数列的和。而且可以使用公式来处理二次方程式。多变量方程也可以解。不过他们不是用变量来描述的，而是用文字。

有一群猴子，其中八分之一排成正方形阵列，在树林里快乐地蹦蹦跳跳。其余12只猴子在山上叽叽喳喳地聊着。问一共有多少只猴子？

从6世纪到12世纪，印度数学家发展了各种各样有趣的数学。从今天的角度看，它们的著作只有解决方法，但没有证明过程。人们不可能从某些推测来得出结论，所以它们一定是以某种方式推导出来的。

4.阿拉伯数学

公元750年，伊斯兰帝国的势力范围已经从印度的西部边缘一直延申到西班牙的部分地区。扩张时代即将结束时，一个新的王朝--阿巴斯王朝建立。

很多天文学相关的书籍被带到这里，它们可能来自印度。很多书籍被翻译和研究。包括《几何原本》。

和希腊一样，他们使用阿拉伯语来讨论学术问题，但并不是所有的使用阿拉伯语的伟大数学家都是阿拉伯人，也不是所有人都是穆斯林。共同的语言让他们相互学习，创造了一个从9世纪到14世纪持续活跃的、全新的数学传统。

由阿尔-花刺子模撰写的《还原与对消的规则》这本书，意味着“恢复和补偿”。该书首先讨论了二次方程式，然后讨论了实用的几何、简单的线性方程，以及如何应用数学来解决继承问题的长篇讨论。最著名的部分是二次方程式。当该书被翻译成拉丁文的时候，“al-jabr”变成了“algebra”(代数)。

自阿尔-花刺子模以后，代数成为阿拉伯数学的重要组成部分。一些数学家致力于这个问题的基础研究，给出了代数方法研究的欧几里得式的证明，其他人则扩展了这些方法。阿拉伯数学家学会了多项式运算，解某些代数方程。

所有的这些都不是用符号来完成的，而是文字。阿尔-海亚米写了一本关于代数的书。他写这本书的目的之一就是想要找到一种办法来求解三次方程。他无法找到数值解，但他确实找到了用几何作图法解所有这些方程的方法。几个世纪以后，这个问题被意大利代数学家解决了。

对阿拉伯数学家来说，只有正数才有意义。另一方面，他们比希腊人更愿意把不同线段的长度视为数字。在某种程度上，这时因为他们对三角学感兴趣：三角函数表需要数字。它们开始注意到，通过选择一个固定的线段作为单位，可以按照比例获得其他线段的长度。

三角函数的发展必然导致方程式近似解的研究。在14世纪由阿尔-卡西（Al-Kashi）开发了N次方根的近似解法。

组合学也出现在了阿拉伯传统中，他们至少知道杨辉三角的前几行。

实用数学也开始发展，在建筑领域，建筑物由一个重复进行的简单基础图案装饰。这种装饰需要一定程度的预先考虑，因为并非所有的形状都可以用重复基础图案来覆盖。这其实是一个数学问题，与平面倾斜的研究和对称的数学理论都有关联。

5.中世纪的欧洲

大约在9世纪前后，西欧的政治和社会生活逐渐趋向稳定，人们也开始把注意力集中到教育上来。他们集中介绍古代传统的入门三科：语法、逻辑和修辞学。资深的学生可以更进一步地学习算术、几何学、音乐和天文学四门学科。

在11世纪、12世纪，教会学校制度最终促使在博洛尼亚、牛津、巴黎和其他欧洲城市建立了第一批大学。在大多数情况下，大学的学者对数学不感兴趣。然而亚里士多德的著作确实由很大的积极影响。他的很多运动理论使得一些学者开始思考运动学，即对物体的运动展开研究。运动的问题导致了无限和越来越小的条件。他有时使用巧妙的绘图技巧获得了几种重要的结果。

6. 15和16世纪

数学的长远发展意味着没有战争的环境。大约在14世纪末，世界各地许多不同文化都孕育出有趣的数学知识。在中美洲，玛雅人开创了二十进制计算系统和想到复杂的历法。

在某种程度上，这些文化相互之间隔绝，并孤立于欧洲文化之外。贸易上的联系并没有促进数学知识上的交流。15世纪开始，欧洲人开始发展航海技术，因此能够航行到遥远的大陆，世界各地的交流开始增多，欧洲文化也被带到世界各地。到16世纪晚期，从南美到中国，许多地方都建立了教会学校。教会文化网络最终扩展到整个世界，导致的结果是，欧洲数学在世界各地被传授和研究，最终成为世界范围内数学的主要形式。

远程导航取决于天文学和对球面几何的了解，这有助于把三角学推向大众关注的焦点。同时，随着商人阶级的崛起，越来越多的人发现他们需要计算能力。代数发展了起来。

当然代数和三角学原本就息息相关，相互影响。三角学是一种代数化的几何学。德国数学家Johannes muller还撰写了《论各种三角形》。这个时期，编三角函数列表成为标准程序（sin,cos,tan,sec,.....）成为标准化程序。一些新的公式被发现。在所有的这些过程中，正弦和余弦继续被认为是某一种特殊线段的长度。没有人认为它们是单位圆上的比率或者长度。

在这个时期，意大利的透视的画法被发现。

7.代数时代

随着时间进入近代早期，数学开始变得更加广泛和多样。在16世纪和17世纪早期，代数学一直占据中心位置，成为焦点。

16世纪，学者们发明了了许多单词的缩写比如p表示plus。

意大利代数学家用cosa这个词（意思是“事物”），来表示方程式中未知的变量。未知数由此诞生。

这个时期，几名代数领域的数学家试图找到一种求解三次方程的方法。做出关键性突破的是意大利数学家。因为当时的学者大多都得到了富人的赞助，并且不得不通过在公共竞赛中击败其他学者来赢得工作。知道如何求解三次方程，它们就可以用他人不知道的解法来挑战别人，因此人们会对自己的发现保持沉默。

但这个格局被Girolamo Cardano打破了。Girolamo Cardano承诺永远不会透露求解方法，于是说服塔塔利亚与他分享这个秘密。一旦他知道塔塔利亚的求解某些三次方法，就能够推广到求任意三次方程的方法。Girolamo Cardano觉得自己已经做出了实际贡献，于是决定不再保守秘密。他写了一本名为《大衍术》（Ars Magna），书中给出了关于如何求解三次方程的完整的几何证明。书中还包含了他学生发现的求解一般四次方程的方法。

但这个求解方法存在一个隐晦的问题，那就是负数的平方根。Girolamo Cardano的这个问题被Rafael Bombelli解决了。可以说这是复数的开端。

最后笛卡尔把代数带入成熟状态，著《几何学》，他提出，一旦确定了单位长度，任何数字都可以解释成几何的一条线段。

这个时期由三项创新极其重要。

1.没有人能解决一般的5次方程的一般解，这促使了很多多项式及其根的理论逐渐发展起来。

2.笛卡尔和皮埃尔.德.费马把代数和几何联系起来，发明了我们今天所受的解析几何。

3.费马提出了一种全新范畴的代数问题。这些都与希腊数学家丢番图的著作有关。

费马其实是一个律师，而且他研究的问题看起来没啥用，所以当时没人和他一起研究。

8.微积分与应用数学

16世纪末和17世纪初，当数学家正在研究代数学的时候，另一部分人则开始使用数学尝试了解宇宙（为啥要了解宇宙。。。）。这部分人被称为自然哲学家。其中最著名的就是伽利略。所研究的内容包括天文学和运动物理学。他把实现和数学分析结合起来。他坚信人类只有用数学，才有机会了解这个社会。

研究运动不可避免的产生了与空间和时间无限可分性有关的疑难问题。当物体运动时的速度不断变化，人们怎么知道它的速度是什么？这个时期，“不可分原理被提出”，平面可以看作是一组平行的线段，立体图则可以看作一组平行的平面区域。

在17世纪60年代末，牛顿和莱布里茨发表了描述微积分的两种方法。

微积分开始用来研究自然界。丹尼尔.伯努利 （约翰.伯努利的儿子）开始研究 力学和流体力学。

欧拉（约翰.伯努利的学生）把微积分发展成理论一个有力的工具，它可以用来解决物理和纯数学中的很多问题。他强调了函数的概念。他是第一个建议人们，最好把正弦和余弦看作为是关于角度的函数，并根据单位圆来定义它们。比较著名的还有拉普拉斯，拉格朗日。

9.严谨性和专业精神

19世纪，数学活动发生了巨大的爆炸性的变化。数学家的工作也发生了很大的改变。

1.人们对严谨性深感关切，尤其是微积分方面

2.物理学问题引发了更多，更复杂的数学知识

3.数学家以一种新的的，不同的方式成为专业人士。

法国科学院发明了公制作为标准化的计量系统，用于科学和商业。

19世纪开局时，拥有支配地位的是高斯。高斯的工作贯穿了所有的纯粹数学和应用数学。事实上，他在物理学和天文学方面的成就，也像他严谨的数学研究一样出名。他也有办法把两者结合起来。例如，在做了一些测量之后，他会把自己在这项工作中开发的想法应用于对曲面几何的研究中。应用程序和理论之间的相互作用是19世纪伟大的数学家工作的典型特征。

后来微积分的基础被定义的越来越严格，柯西和卡尔.维尔斯特拉斯等 在其中都有贡献。

之后理查德.德德金德和朱塞佩.皮亚诺研究了算数的基础，乔治.坎托发明了集合的概念。集合论最终被认为是所有数学的基础。

代数和几何学在19世纪也发生了根本性的变化。在16世纪，人们发现了求解三次和四次方程的代数公式，但没有人能解出5次方程式。渐渐地，数学家们开始从寻找5次方程式的解，转向去了解为什么无法获得五次方程式子的解。到18世纪，拉格朗日已经注意到，通过在各种多项式上分析方程式的根重排所得的结果，可以理解方程式所有存在的解。这导致了19世纪的重大代数发现。

第一个突破是，1822年，阿贝尔成果的证明了5次方程式的解实际上没有一般公式。

第二是伽罗瓦发现通过群论可以来分析方程式的可解性，群论已经成为现代代数学和几何学的基石。伽罗瓦还介绍了洞察力的根本变化。他认为有必要考虑特定的方程式转换到考虑所有可能的转换。后来发展成了“抽象代数”。

在几何学上，非欧几里得几何学被发现。

为了研究热是如何传导的，傅立叶发明了傅立叶变换。

随着19世纪的结束，数学越来越专业。大多数数学家在大学工作，在那里他们即教书又做研究。

10.抽象、计算机和新应用

19世纪结束后，数学的专业社团也越来越多。每隔20年左右，数学知识就会成倍的增长。事实上，据估计，今天已知的数学知识有95%是自1900年以来产生的。这样一种背景下，要统一数学的知识，所采用的语言就需要更加抽象。这不可避免的导致了专业化的发展。因为每个领域的学习成本都很高。

20世纪后半叶，计算机被发明和发展开来。这对数学产生了巨大的冲击。计算机可以用来测试结果，而且在某些领域时间成本比人低，这就产生了另一种方法。即，不需要先去构造复杂的数学证明，而是可以先做假设，然后用计算机跑成千上万的数据来检验是否符合假设。

再后来模拟和可视化也慢慢发展开来，“分形”被发现。

第一次世界大战开始，由于各国政府发现从数学上的思考实际问题会产生有益的结果，由此“运筹学”诞生。